莫比乌斯带

公元1858年，德国数学家莫比乌斯（Mobius，1790～1868）和约翰·李斯丁发现：把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质。普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。这种纸带被称为“莫比乌斯带”（也就是说，它的曲面从两个减少到只有一个）。

制作方法

拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端扭转180°，就成为一个莫比乌斯带。用剪刀沿纸带的中央把它剪开。纸带不仅没有一分为二，反而剪出一个两倍长的纸圈。

新得到的这个较长的纸圈，本身却是一个双侧曲面，它的两条边界自身虽不打结，但却相互套在一起。把上述纸圈，再一次沿中线剪开，这回可真的一分为二了，得到的是两条互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于两条纸圈之中，只是每条纸圈本身并不打结罢了。

相反，拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，把其中一端360度翻一个身，粘成一个双侧曲面。用剪刀沿纸带的中央把它剪开。纸带不仅没有一分为二，反而剪出两个环套环的双侧曲面。

莫比乌斯带还有更为奇异的特性。一些在平面上无法解决的问题，却不可思议地在莫比乌斯带上获得了解决。

比如在普通空间无法实现的"手套易位"问题：人左右两手的手套虽然极为相像，但却有着本质的不同。我们不可能把左手的手套完全贴合于右手；也不能把右手的手套完全贴合于左手。无论你怎么扭来转去，左手套永远是左手套，右手套也永远是右手套！不过，倘若你把它搬到莫比乌斯带上来，那么解决起来就易如反掌了。

在自然界有许多物体也类似于手套那样，它们本身具备完全相像的对称部分，但一个是左手系的，另一个是右手系的，它们之间有着极大的不同。

拓展

制作过程中把纸带一端旋转180度可以，旋转540度、900度……都符合莫比乌斯带的定义。

和几何学关系

可以用参数方程式创造出立体莫比乌斯带（如下图）

这个方程组可以创造一个边长为1半径为1的莫比乌斯带，所处位置为x-y面，中心为（0，0，0）。参数

u在v从一个边移动到另一边的时候环绕整个带子。

从拓扑学上来讲，莫比乌斯带可以定义为矩阵[0,1]×[0,1]，边由在0≤x≤1的时候（x,0）~（1-x,1）决定。

莫比乌斯带是一个二维的紧致流形（即一个有边界的面），可以嵌入到三维或更高维的流形中。它是一个不可定向的的标准范例，可以看作RP#RP。同时也是数学上描绘纤维丛的例子之一。特别地，它是一个有一纤维单位区间，I= [0,1]的圆S上的非平凡丛。仅从莫比乌斯带的边缘看去给出S上一个非平凡的两个点（或Z2）的从。

拓扑变换

莫比乌斯带是一种拓展图形，它们在图形被弯曲、拉大、缩小或任意的变形下保持不变，只要在变形过程中不使原来不同的点重合为同一个点，又不产生新点。换句话说，这种变换的条件是：在原来图形的点与变换了图形的点之间存在着一一对应的关系，并且邻近的点还是邻近的点。这样的变换叫做拓扑变换。拓扑有一个形象说法——橡皮几何学。因为如果图形都是用橡皮做成的，就能把许多图形进行拓扑变换。例如一个橡皮圈能变形成一个圆圈或一个方圈。但是一个橡皮圈不能由拓扑变换成为一个阿拉伯数字8。因为不把圈上的两个点重合在一起，圈就不会变成8，“莫比乌斯带”正好满足了上述要求。

旋转纬度的分析

传统的三维世界里，所有的维度都是直线式的，但如果将旋转视为一种纬度，则相对容易对莫比乌斯带进行解释。

从莫比乌斯带的结构来看，它包含了一个水平360度旋转的维度，同时包含了一个垂直方向上360度旋转的维度，加上带子本身的平面（x,y）维度，莫比乌斯带总共是四个维度。

如果垂直方向上旋转的度数继续增加，只会增加莫比乌斯带缠绕的圈数，并不会额外增加空间的维度。